"No ha
habido movimiento más arrollador en toda la historia de la ciencia que el
desarrollo de la geometría no euclídea, un movimiento que estremeció hasta
sus cimientos la creencia , proveniente de épocas remotas, de que Euclides
había expresado verdades eternas"
James Newman
Resumen
de la historia del axioma de la paralelas
Cuestiones que me motivaron para realizar este trabajo
Metodología empleada
Durante 2000 años ,
los matemáticos han intentado demostrar el axioma de las paralelas(" por un
punto exterior a una recta hay una y sólo una recta paralela a la recta dada")
partiendo del resto de los axiomas que propuso Euclides , en su famoso libro Los
Elementos.
Euclides se propuso fundamentar la geometría como ciencia racional y deductiva
partiendo de un número limitado de enunciados "evidentes" , que
denominó como Postulados y Axiomas. Uno de estos Axiomas es el mencionado de
las paralelas, que Euclides lo expresó con un enunciado más confuso y largo.
Este enunciado tan extenso puso en duda desde el principio sobre si era un
Axioma o un Teorema deducible del resto de Axiomas.
Los esfuerzos de los matemáticos durante 20 siglos se encaminaron a tratar de demostrar este Axioma, para considerarlo como un Teorema. Ninguno lo demostró, pues algunos intentos , que en principio parecían bien encaminados , ocultaban otra proposición equivalente al teorema que se quería demostrar. Sin embargo, tantos esfuerzos no fueron en vano, pues en torno a esta investigación se orientó el pensamiento matemático sobre la naturaleza de la geometría y del espacio en que vivimos y se consiguieron notables descubrimientos en diversos campos de la matemática.
El primero que intuyó el camino adecuado para plantear este problema en sus justos términos fue el más grande matemático del siglo XIX, el alemán Karl Friedrich Gauss. Sin embargo, no se atrevió entonces a publicar ninguno de sus resultados sobre geometría no euclídea, por temor a ser mal comprendido en una época en la que imperaba la autoridad de Inmmanuel Kant, que sostenía que los axiomas euclídeos son juicios sintéticos a priori (verdades inherentes a la naturaleza humana).
En 1829, Lobachevsky publica sus resultados sobre una nueva geometría en la que , lejos de demostrar el Axioma de las paralelas, parte de un Axioma contrario a éste : " por un punto exterior a una recta se pueden trazar al menos dos rectas que no cortan a la recta dada".
Esta nueva geometría no es contradictoria y rica en contenidos, como la euclídea, aunque en principio es considerada como un juego lógico, en el que sus resultados no tienen ninguna interpretación en el espacio. Algunas proposiciones de la nueva geometría coinciden con los de la euclídea, pero otros varían sustancialmente, con resultados sorprendentes ( la suma de los ángulos de un triángulo es menor que dos rectos ; además, a medida que aumenta el área del triángulo, la suma de sus ángulos disminuye,...).
El matemático Félix Klein denominó a estas geometrías "no euclídeas" y su gran mérito fue descubrir un modelo que describe e "interpreta" la geometría de Lobachevsky, que desde entonces deja de considerarse un mero juego lógico . Además el modelo representa una demostración de su consistencia relativa.
Este modelo se
basa sobre la geometría en el interior de un círculo y sigue un tratamiento
proyectivo como había efectuado también el matemático británico Cayley.
quien había estudiado las propiedades geométricas del plano en relación con
una cónica no degenerada.
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Las cuestiones que me incitaron a trabajar sobre este tema fueron :
¿ Es posible
formular un modelo de geometría no euclídea utilizando una cónica degenerada
?
¿ Se cumplen en este modelo todos los axiomas de la geometría euclídea, menos el de las paralelas?
¿ Se trata de otro tipo de geometría no euclídea?
¿Cómo son en este modelo los movimientos conocidos de la geometría
euclídea: giros , traslaciones, simetrías,...?
¿Qué resultados son válidos en ambas geometrías y cuáles son diferentes?
El presente trabajo trata de dar respuesta a estos interrogantes. Escogí como cónica degenerada dos rectas que se cortan en un punto.
Este modelo ofrece en principio diferencias notables respecto a cualquier cónica no degenerada: la singularidad que representa el punto donde ambas rectas se cortan, así como las rectas que parten de este punto.
Pero esta dificultad, lejos de desanimarme a realizar el estudio, me ofrecía nuevos alicientes para abordarlo: el espacio que propugnan los modelos anteriores , euclídeos y no euclídeos, es isótropo, en cuanto todos los puntos y todas las direcciones tienen propiedades análogas : no hay ningún punto ni dirección privilegiada.
Sin embargo, los
últimos estudios sobre el Universo y la teoría de la Relatividad propugnan la
existencia de singularidades en el espacio-tiempo, algunas denominadas
"agujeros negros".
¿Podría
este modelo representar algunos aspectos de la geometría imperante en el
entorno de estas singularidades?
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Para estudiar el modelo propuesto he utilizado el programa informático Sketchpad, en el que están realizados todos los dibujos del trabajo. Se trata de un programa magnífico para trabajar e investigar cualquier problema de geometría métrica y tengo que reconocer que no hubiera llegado a muchos de los resultados obtenidos, si no hubiera sido con la ayuda de este programa.
En muchos momentos me he acordado de lo que hubiera supuesto a tantos geómetras del pasado la ayuda de este programa informático: ¡ lo que hubieran disfrutado y avanzado en sus investigaciones Apolonio, Desargues, Chasles, Monge o Poncelet visualizando sus descubrimientos geométricos sobre la pantalla de un ordenador y confirmando sus resultados!
También he
descubierto en este trabajo la importancia de definir con precisión y
exactitud los principales entes geométricos ( segmentos, semiplanos,...).
Este estudio me ha ayudado a
revisar y profundizar en estos conceptos , así como a entender que los más elementales son
, a veces, los más difíciles de expresar y definir.
¿Qué es una
semirrecta?
¿Qué significa que punto esté entre otros dos en una recta?
¿Cómo se define un segmento?¿Cuándo dos segmentos son iguales?
¿Cómo se determina el punto medio de un segmento?
¿Cómo se define la orientación en un espacio?
¿Qué es un semiplano?
¿Qué es un ángulo? ¿Y un ángulo llano?¿Y un triángulo?
......
Para responder a esta preguntas me he basado en las definiciones formales de estos conceptos en la geometría euclídea, tal y como los expone D. Pedro Puig Adam en sus magníficos libros Geometría Métrica ( Fundamentos y Complementos).
El concepto-base para realizar este trabajo es el de simetría axial, que no es sino una homología de centro y eje propios.
Para entender las ideas principales de este trabajo, es preciso conocer algunos aspectos de la geometría proyectiva : la razón doble, la proyectividad entre series lineales, las homografías, las homologías,.. Por este motivo, he introducido brevemente en el apartado Conceptos Previos las ideas principales de estos temas para entender el trabajo.
Mediante las simetrías axiales, llego a determinar los demás "movimientos" ( "giros", "traslaciones",.....) y además a determinar los segmentos, semirrectas y semiplanos en este espacio.
No era nada
intuitivo, por ejemplo, determinar los dos semiplanos que determina una
"recta" en este "plano". Para eso, me basé en la siguiente
idea : la simetría axial respecto a dicha "recta" convierte un
semiplano en el otro. Observando cómo se transforma un punto colocado en
distintas posiciones de una región determinada por una "recta"
determiné cómo eran las semiplanos en esta geometría.
En el dibujo
superior, se observa que el si el punto A está cerca del eje de simetría r, su
transformado A' se encuentra al otro lado de la recta, dentro del mismo ángulo
de la cónica.
Sin embargo, si el punto A está suficientemente alejado del eje de simetría,
su transformado A' se encuentra en el otro ángulo de la cónica:
Por tanto, los semiplanos determinados por una recta UV son :
Algunos de los
resultados de esta geometría son sorprendentes : hay triángulos en los que un
lado es igual a la suma de los otros dos, no hay triángulos equiláteros, la
suma de los ángulos de un triángulo es menor que un llano, la orientación en
este "plano" es extraña...
Sin embargo, no se trata de una geometría
menos verdadera que las otras euclídeas y no euclídeas. Ni menos consistente,
como lo indica la propia existencia del "modelo" euclídeo
propuesto.
En cuanto a si describe mejor o peor la naturaleza del espacio físico que nos rodea, podemos recordar la historia de la geometría de Lobachevsky, que , en sus orígenes, no era otra cosa que un juego lógico y posteriormente sirvió de base para fundamentar la Teoría General de la Relatividad.
La historia de la matemática se ha forjado a base de formulaciones "inútiles" que con el tiempo se convierten en instrumentos adecuados para resolver problemas prácticos. ¿ Laplace y Bernouilli previeron que sus elucubraciones sobre los juegos de azar servirían para estudiar el indeterminismo en la Física moderna? ¿ Boole pensó en algún momento que su álgebra , tan abstracta y sin sentido en su época, fuera necesaria para construir el lenguaje de los ordenadores y revolucionar la vida actual con las nuevas tecnologías?
Esta geometría tiene la ventaja sobre las otras en que el espacio que describe no es isótropo y existen singularidades. Pero en la actualidad muchos físicos sostienen que en nuestro Universo existen zonas donde existen también puntos y direcciones singulares.