Introducción

Historia del 5º Postulado
Gauss y Lobachevsky
El modelo de Klein

Euclides, en sus Elementos, fundamenta la Geometría sobre una serie de definiciones, postulados y axiomas. A partir de estos axiomas construye la Geometría como ciencia racional, deduciendo , mediante razonamientos lógicos, todas las proposiciones y teoremas que constituyen la geometría euclídea. La Geometría deja de ser un cúmulo de conocimientos, confirmados por la experiencia real, para convertirse en una ciencia deductiva, racional.

Como indica el insigne matemático español , Pedro Puig Adam, "la geometría que tuvo su orígen en un problema tan material como es el deslinde y medición de tierras, terminó siendo el edificio racional más bello y perfecto que ha construido el pensamiento humano"

Entre los axiomas elegidos por Euclides figura el Postulado V que se suele enunciar en la forma: " por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta".

Este enunciado, en la formulación de Euclides, es bastante más complicado, pero, incluso en esta forma breve, encierra algunas dificultades:

¿ Cómo podemos cerciorarnos de que dos rectas son paralelas?
Tendríamos que prolongar éstas en su extensión infinita para comprobar que no se cortan. Y entonces estamos utilizando la expresión infinita, que encierra un contenido muy poco definido y bastante ambiguo en una obra tan racional y sin cabos sueltos, como pretendía Euclides que fueran sus Elementos.

Por este motivo, Euclides introduce este postulado en un lugar bastante avanzado de su obra : en la proposición 29, cuando ya ha demostrado 28 proposiciones sin haberlo utilizado, dando a entender su poca predisposición para utilizar este axioma. Da la impresión de que no quería utilizarlo y sólo lo introduce cuando no le queda más remedio.

Desde entonces, muchos matemáticos han intentado demostrar este Postulado partiendo del resto de axiomas. En este vano intento podemos señalar a Saccheri, Wallis, Lambert, Legendre, y muchos otros matemáticos del siglo XIX...

En todos los casos se demostraba el V Postulado, pero tomando como premisa una proposición equivalente a este Postulado.
¿ Por qué se manifestaba este problema tan difícil de solucionar ? ¿A qué se debía ? ¿Acaso estaba mal planteado? ¿O era la incapacidad y falta de recursos de los matemáticos la causa de no llegar a un resultado satisfactorio ? Subir al principio

Gauss empezó a vislumbrar la solución correcta al problema planteado durante tantos siglos y siguió un camino diferente a todos sus antecesores: tomó la decisión de abandonar el V Postulado, elegir la proposición opuesta y demostrar una serie de teoremas, como consecuencia de esta elección. Sin embargo no se atrevió a publicar estos resultados, que suponían una auténtica ruptura con los conocimientos vigentes en aquel momento.

Fue un joven profesor de la Universidad de Kazan , Lobachevski, quien por primera vez plantea públicamente la cuestión del V Postulado en sus términos correctos a través de un camino análogo al de Gauss : en vez de intentar demostrar el V Postulado, desarrolla una nueva geometría con una premisa contraria a éste.

Al igual que Gauss, Lobachevski parte de una proposición contraria al V Postulado : "por un punto exterior a una recta, se pueden trazar, al menos, dos rectas paralelas a la recta dada". Sustituyendo este enunciado al V Postulado y tomando el resto de los axiomas elegidos por Euclides, desarrolla una nueva geometría.

Si este enunciado es incompatible con el resto, se llegará a una contradicción. Por el contrario, si no se detecta (como así fue ) ninguna contradicción, se llega a tres conclusiones a las que llegó el mismo Lobachevski :

El V Postulado no se puede demostrar partiendo del resto de Axiomas
Es posible desarrollar, sobre la base de un Postulado contrario al V, una nueva geometría, tan lógicamente irrefutable y rica en contenidos como la geometría de Euclides.
Toda geometría, lógicamente construida, debe ser desarrollada no como un mero juego lógico, sino como un nuevo camino que pueda conducir a un conocimiento más profundo de la realidad física de nuestro entorno.

Evidentemente esta nueva geometría chocaba con la imagen intuitiva del espacio tal y como se concebía en aquel momento. Pero Lobachevski no concibió su geometría como un simple cuerpo de doctrina alejado de la realidad física del mundo. Antes al contrario, su geometría consideraba la de Euclides como un caso límite y se ajustaba más que ésta, a los nuevos cálculos de medidas astronómicas que se iban obteniendo.

Lobachevski no consideraba que sus teoremas fueran "menos verdaderos" que los resultados de Euclides. Una y otra geometría se deberían confrontar experimentalmente, para investigar cuál de las dos se ajusta más a las leyes de la naturaleza del espacio.

Sin embargo, Lobachevski no consiguió construir un modelo que describiera fielmente los resultados , algunos sorprendentes, de esta nueva geometría.
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Fue un matemático alemán , Félix Klein , quien construyó por primera vez un modelo, utilizando conceptos de la geometría euclídea, que se ajustaba a la geometría de Lobachevski.

El modelo de Klein es el siguiente:

Llama "plano" al interior de un círculo, "puntos" a sus puntos interiores ( no valen los de la circunferencia) y "rectas" a las cuerdas interiores al círculo.

Denomina "movimiento" a cualquier transformación del plano, que , convirtiendo rectas en rectas, deje invariante el círculo. Un ejemplo de "movimiento" es un giro cualquiera con centro en el centro de la circunferencia.

Con estos convenios Klein demuestra que cualquier resultado de la geometría euclídea dentro de este círculo se convierte en un resultado de la geometría de Lobachevski y recíprocamente, cualquier resultado de la geometría de Lobachevski tiene su reflejo en un resultado de la geometría dentro de este círculo. De este modo, el modelo propuesto garantiza la consistencia de la geometría de Lobachevsky en función de la euclídea. Si es consistente la geometría de Euclides , también lo es la de Lobachevsky.

Detengámonos en dos aspectos de esta nueva geometría para tratar de entender su significado : el axioma de las paralelas y el concepto de medida.

El Axioma de Lobachevski de que por un punto exterior a una recta se pueden trazar al menos dos rectas que no cortan a la recta dada , se puede observar en el siguiente dibujo:

Por el "punto" P se pueden trazar infinitas "rectas" que no cortan a la recta r . Entre estas infinitas "rectas" existen dos "rectas-extremo" como son las señaladas por s y t.

En este modelo, las "rectas" también son de longitud infinita aunque tengan la apariencia euclídea de cuerdas de longitud finita, como podemos comprobar a continuación:

En este dibujo, el segmento AB se transforma en el BC mediante un "movimiento" tal y como se ha definido anteriormente ( transformación que deja invariante el círculo, convirtiendo rectas en rectas ). A este movimiento lo denominamos "traslación". Aplicando esta "traslación" al segmento BC, éste se convierte en el segmento CD. A su vez, CD se transforma en el DE. El segmento DE en el EF, y así sucesivamente podemos continuar y nunca llegaríamos al final de esta "recta".

En la geometría euclídea estos segmentos AB, BC, CD,... son de longitud diferente. Sin embargo, en la geometría de Lobachevski, todos son de la misma longitud
¿ cómo es posible esto? Analicemos brevemente qué queremos decir cuando indicamos que dos segmentos son de igual longitud.

Un segmento AB es igual a otro CD, cuando "transportando" el segmento AB sobre la semirrecta CD, ambos segmentos se acoplan perfectamente ( el extremo A coincide con el C y el extremo B coincide con el D ). Pero "transportar" un segmento no es otra cosa que transformar éste mediante un "movimiento". Luego, podemos concluir que dos segmentos son iguales si podemos transformar uno en el otro mediante un movimiento.

Con esta definición, en el dibujo anterior el segmento AB se transforma en el BC mediante un "movimiento", luego son iguales ; así como son iguales al CD, al DE, al EF,....en el modelo de Klein , ¡¡aunque con una óptica euclídea nos parezcan diferentes!!.

Entonces, ¿cuál es la longitud de la recta en la que están incluidos estos segmentos? Si tomamos como unidad el segmento AB, la longitud de la "recta" es el número de veces que podemos transportar este segmento sobre esta "recta". Como lo podemos hacer un número infinito de veces, la longitud de esta "recta" es infinita
( como todas las "rectas" en este modelo de Klein).

Posteriormente, se han estudiado otros modelos de esta geometría utilizando como "plano" una de las cónicas no degeneradas : elipse, hipérbola y parábola. La construcción es análoga a la empleada por Klein, si tenemos en cuenta que estas cónicas se generan a partir de la circunferencia mediante una transformación proyectiva.
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