Interpretación física de la derivada

 

La derivada es la variación de una magnitud respecto a otra. Como ésta última magnitud suele ser en muchos casos el tiempo, la derivada representa la variación instantánea de una magnitud. Consolidemos esta idea mediante varios ejemplos:

Si pulsas en el botón animar, observas un avión que se mueve a velocidad constante (15 kms/min) y a una altura de 5 kms dirigiéndose hacia un lugar de observación ( el origen de coordenadas).


Hay varias magnitudes que intervienen en este movimiento:

la distancia al lugar de observación (z),
el ángulo que forma este segmento con el semieje horizontal positivo (A),
la proyección del avión sobre el eje horizontal (x) ,
el área sombreada (S),...

La velocidad que expresa la variación de estas magnitudes respecto al tiempo es la derivada:

dz/dt representa la variación de la distancia z (como esta distancia disminuye al principio, dz/dt toma valores negativos, como veremos) .

dx/dt es la velocidad del avión (constante e igual a 15 kms/min )

dA/dt es la variación del ángulo ( negativa, pues este ángulo disminuye en todo momento)

Analicemos matemáticamente estas magnitudes:

z^2 =x^2+5^2

Derivando esta expresión respecto al tiempo

2z(dz/dt)=2x(dx/dt)

Por tanto, dz/dt = (x/z) dx/dt=(x/z)15

Luego, dz/dt depende en cada momento del cociente x/z.

Si denominamos A al ángulo que forma con el eje horizontal la línea que une el avión con el lugar de observación:

tg A = 5/x

Derivando

(1+(tgA)^2) dA/dt = (-5/x^2) dx/dt

dA/dt = (-5/x^2)15 / (1+(5/x)^2)= -75 / (25+x^2)

El siguiente applet refuerza la idea de que una derivada no es más que la variación de una magnitud.

En un recipiente cónico introducimos agua de modo constante. La altura que va adquiriendo este líquido crece de forma variable: al principio aumenta rápidamente, pero , al hacerse la sección cada vez más grande, el nivel aumenta de manera más lenta:

 

En este proceso, intervienen las siguientes magnitudes:

el volumen del agua dentro del recipiente ( V )
la capa superior del líquido ( S )
la altura del líquido ( h )

dV/dt representa el caudal del líquido que entra en el recipiente ( constante e igual a 100)
dS/dt es la velocidad de crecimiento de la superficie superior del líquido
dh/dt es la velocidad con que asciende el líquido dentro del recipiente.

Puedes comprobar que dh/dt=25(dV/dt) / (9*3.14*h^2) que corresponde a la idea de que esta velocidad disminuye rápidamente con la altura h.
Asimismo,
dS/dt = (dV/dt)(2/h).

 

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En el siguiente applet el radio del círculo aumenta de modo constante ¿ Aumenta también de modo constante su perímetro? ¿ Y su área?

Dos trenes parten del orígen de coordenadas con un movimiento uniforme, uno (B) en dirección Norte y el otro(A) en dirección Este, a doble velocidad que el anterior. ¿A qué velocidad aumenta la distancia entre estos trenes?¿Cómo aumenta el área sombreada ?


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Una escalera se apoya inicialmente sobre una pared ( el eje OY ) y empieza a deslizarse de modo que su vértice superior desciende de modo constante. ¿Desciende entonces de modo constante también su vértice inferior? Sin hacer cálculos nuestra impresión es que sí; pero veamos cómo esto no es así.

Si denominamos y a la ordenada del vértice superior , x a la abscisa del vértice inferior , entonces en cada instante estos valores x,y son los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa 5 ( la longitud de la escalera). Por tanto, x^2+y^2=25. Derivando esta expresión respecto al tiempo

2x(dx/dt)+2y(dy/dt)=0
dx/dt =(-y/x)*(dy/dt)

dx/dt representa la variación instantánea de la abscisa x , es decir, la velocidad del extremo inferior de la escalera. Asimismo, dy/dt representa la velocidad del extremo superior. Esta derivada es negativa porque la ordenada y decrece.

Si (dy/dt) es constante, no lo es dx/dt.En cada instante depende del cociente y/x. A medida que se desliza la escalera, esta velocidad disminuye como se comprueba en el siguiente applet pulsanso el botón Animar.

En los siguientes applets un punto recorre diversas curvas elementales. Analiza las velocidades de sus proyecciones sobre los ejes dx/dt , dy/dt.

 

 

 

 

 

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