Recta tangente         Definición de derivada         Funciones no derivables

Recta tangente

La idea de derivada está unida estrechamente a la de recta tangente a una curva. Pero¿ cómo se define la recta tangente a una curva en un punto? En algunos textos se indica que la recta tangente es aquella que toca a la curva en un sólo punto. Aparte de la ambigüedad e imprecisión que encierra esta frase, tampoco se cumple en muchos casos como el de la figura:

Para definir formalmente el concepto de recta tangente, vamos a trabajar con el siguiente applet, en el que está dibujada una curva en rojo. Pretendemos definir la recta tangente a esta curva en el punto P de abscisa x=2. Para eso, dibujamos un punto Q sobre la curva de abscisa x= 2+h. Entonces queda definida la recta QP secante a la curva. Si manipulas el controlador inferior correspondiente al incremento h , observas que si disminuye este valor, entonces el punto Q se acerca a P y las rectas secantes van variando. Si  h->0, estas rectas secantes tienden a una recta límite, que se denomina recta tangente por la derecha a la curva en P. Si pones el control h a 0, las rectas secantes verdes se han convertido en la recta amarilla , que es la tangente por la derecha:

Análogamente, si pones el control h a un valor negativo el punto Q está a la izquierda de P. Tendiendo de nuevo h a 0, las rectas secante QP tienden ahora a la recta tangente por la izquierda, que en este applet coincide con la recta tangente por la derecha. Cuando coinciden, a esta recta se denomina simplemente recta tangente a la curva en el punto P.

La recta tangente viene a coincidir con la dirección de las luces de un coche que recorre la curva, como observas en el siguiente applet manipulando el control inferior a. 

En el siguiente applet observa que estas rectas tangentes no coinciden en el punto P. En este caso, decimos que esta curva no tiene recta tangente en el punto P. Se trata de un punto anguloso de la curva :

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Definición de Derivada

Analicemos un caso en el que sí hay recta tangente. Sabes que la pendiente de una recta indica su inclinación. Viene expresada por el cociente de lo que asciende ( o desciende) en la vertical dividido entre  lo que aumenta en la horizontal. Así una pendiente en un punto del 11% ( 11/100) significa que si avanzamos 100 unidades en la horizontal, la recta asciende 11 en la vertical.

En el siguiente applet calculamos la pendiente de cada una de las rectas secantes . Si a partir de x=2 avanzamos en la horizontal el incremento h, ascendemos f(2+h)-f(2) en la vertical. Su pendiente es , por tanto, ( f(2+h)-f(2))/h .

Las pendientes de estas rectas secantes forman una sucesión , cuyo límite es la pendiente de la recta tangente. A la pendiente de esta recta tangente se denomina derivada de la función f(x) en x=2.

Por tanto, podemos definir la derivada f '(2) como el límite del cociente (f(2+h)-f(2))/h cuando h tiende a 0Este límite no siempre existe. Cuando existe , decimos que la función es derivable. 

Así una función es derivable en un punto cuando la curva es suave  en él ( no es punto anguloso), es decir, cuando el tramo de curva alrededor del punto puede ser el trazado de una carretera por donde ,al pasar un coche, emita una luz en la dirección de su recta tangente.

En el siguiente applet hemos representado la gráfica de la función seno. Esta curva es derivable ( su trazado es suave) en todos sus puntos. Si recorres esta curva manipulando el controlador inferior a, en cada punto se dibuja un triángulo en el que el cateto inferior es siempre 1. Como la hipotenusa corresponde a un tramo de la recta tangente, el cateto amarillo vertical representa la derivada en el punto a. Observa que en los puntos máximos relativos ( cumbres) y mínimos relativos ( valles) esta derivada es 0. En los tramos donde la curva es creciente, esta derivada toma valores positivos ( hacia arriba).

Funciones no derivables

Vamosa analizar ahora la derivabilidad de algunas funciones "extrañas". La gráfica siguiente corresponde a la función f(x)=sen(1/x).

Al acercarnos al orígen (para valores pequeños de x) el valor 1/x toma valores muy grandes.Así entre x=0.001 y x=0.01, los valores 1/x toman valores entre 1000 y 100. Por tanto, la función seno tiene entre ambos valores 143 períodos 900/(2*pi).Es decir, entre x=0.001 y x=0.01 la onda del seno se repite 143 veces. Por eso esta gráfica se ondula indefinidamente tomando valores entre -1 y 1 alrededor del origen, como se observa en el dibujo:

Esta función no es derivable en el origen por no ser continua.No es continua porque no está definida en 0 (1/x no existe para x=0). Además no se puede evitar la discontinuidad porque no existen los límites laterales en 0 ( la curva se ondula indefinidamente sin tender a ningún valor.

La siguiente gráfica corresponde a la función f(x)= x*sen (1/x). En este caso las ondas del seno se comprimen entre las rectas y = x, y= -x. Ahora sí existen los límites laterales en 0 y valen 0. Si definimos f(0)=0, entonces la función es continua en todos los puntos a pesar de su aspecto extraño:

¿Es derivable? Para contestar a esta pregunta, nos vamos a basar en su definición. Veamos si existe el lím de la expresión (f(x)-f(0))/(x-0) cuando x tiende a 0.

El cociente anterior, en un entorno de 0, vale x*sen(1/x) / x = sen(1/x). Según hemos visto anteriormente, no existe el límite de sen(1/x) cuando x tiende a 0. Por tanto, esta función no es derivable en 0 a pesar de ser continua.

La función f(x) = x^2 * sen (1/x) es muy parecida a la anterior salvo que ahora las ondas están comprimidas por las parábolas y = x^2 , y= - x^2. Este pequeño detalle cambia el comportamiento de esta función en el origen.

Si definimos f(0)=0 , f(x) es continua en 0. Pero, a diferencia de las anteriores, f(x) es derivable en 0. En efecto el cociente incremental toma el valor (x^2*sen(1/x)) / x = x* sen(1/x). Ahora sí existe el límite de x*sen(1/x) cuando x tiende a 0. Esta función es derivable en 0 y en todos los puntos.

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