Concepto de Integral Definida (de Riemann)
El orígen del cálculo integral está asociado al problema de medir el área de una figura plana, cuyo contorno tiene alguna parte curvilínea como la de la figura siguiente, en la que el "techo" es un segmento parabólico. ¿Cómo calcular esta área?
Desde la antiguedad ( en Mesopotamia y Egipto) se conoce el método para el cálculo de áreas de figuras poligonales, cuyo contorno son segmentos rectilíneos. Basta con descomponer esta figura en triángulos y calcular el área de cada triángulo.
La idea para el cálculo de áreas de figuras curvilíneas procede de la idea de límite : Para calcular un valor, busco una sucesión de valores aproximados de modo que esta sucesión se aproxime al valor buscado tanto como se quiera. El límite de esta sucesión proporciona este valor.
En el ejemplo que nos ocupa, divido el intervalo-base en partes iguales. Cada una de estas partes es la base de un rectánguloo cuya altura es el valor mínimo de la función en dicho intervalo. De este modo construyo rectángulos interiores a la figura, de modo que la suma de estas áreas es un valor cercano al área que quiero calcular. La idea importante es que si aumentamos el número de partes en que se divide el intervalo-base, esta suma aumenta de modo que se puede aproximar tanto como se quiera al área buscada. Esto lo puedes comprobar en el siguiente applet: el control inferior representa el número de partes en que se divide el intervalo-base; al aumentar éste número, la suma de las áreas de los rectángulos ( suma inferior de Riemann) aumenta hasta acercarse a un valor límite ( 1 ) :
A este valor ( 1 ) , que es el límite
de las sumas inferiores se denomina integral inferior de Riemann.
Si procedemos de forma análoga, pero en cada intervalo tomamos el máximo
de la función en él, entonces los rectángulos obtenidos
sobresalen por encima de la gráfica de la función, como puedes
observar en el siguiente applet:
En este caso, al aumentar el número de particiones las sumas van disminuyendo hasta aproximarse también a un valor límite ( 1 ) . A este límite se denomina integral superior de Riemann.
Cuando, como en este caso, la integral inferior y la superior coinciden, a este valor común se denomina simplemente integral de Riemann de la función en el intervalo considerado. Se simboliza por
Los valores 0, 2 corresponden a los extremos del intervalo-base
Teorema Fundamental del Cálculo
Relaciona los dos conceptos fundamentales del análisis matemático:la derivada y la integral.
Consideremos una función f(x) continua,como se observa en el siguiente applet representada en rojo.Si a cada valor de t asociamos el área comprendida entre f(x) y el eje OX, desde la abscisa 0 hasta t, determinamos una nueva función, que vamos a denominar función área A(t).
¿Hay alguna relación entre las funciones f(x) y su área A(t) ?
Sí la hay y además se trata de una relación muy simple: A'(t) = f(t). Esta relación es sorprendente, porque en principio no se atisba ninguna relación entre un área A(t) y el valor de la altura f(t).
En el siguiente applet, puedes comprobar este teorema:
A cada abscisa a , está representada en rojo el valor f(a), y el valor del área A(a) en amarillo. Este área corresponde a la zona comprendida entre la función f(x) y el eje OX , desde 0 hasta a.Trazando la recta tangente a la función amarilla, determinamos su recta tangente A'(a). Este valor coincide con f(a), como se ve en el applet:
Si la función f(x) es continua , el teorema asegura que la función área es derivable. En el siguiente applet, observa que f(x) es continua, aunque no derivable en ??? ( hay un punto anguloso). Sin embargo la función área, que se representa en amarillo según aumenta la abscisa a ( mediante el control inferior) , es derivable siempre .
No ocurrre lo mismo con la siguiente función f(x) que no es continua en a=2 y la función área es continua, pero no derivable en dicho punto.
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