Introducción Trabajo
de un motor El
número e Estiramiento de un muelle El
límite y los infinitésimos
Historia del límite Notas
metodológicas Definición de límite
Vamos a hablar sobre un concepto clave en varias ramas importantes de
la matemática:
A pesar de la importancia de este concepto ( o método), durante
el Bachillerato no se llega a explicar suficientemente el significado ni el
alcance de esta potente herramienta. Eso sí, los alumnos calculan límites
con una gran pericia cuando se aprenden las distintas técnicas elementales,
que parecen “extraídas de la manga”. Así, no se arrugan
ante cálculos tan laboriosos como
Incluso les gusta realizar estos cálculos que les resulta bastante
sencillo, pero no llegan a entender para qué sirve calcular estos límites.
¿ Para qué necesitan calcular el límite de la función
? ¿
O el 
? Los
más aventajados calculan este último límite para hallar
una asíntota oblicua de una función , pero ,además de esta
aplicación, no encontrarán otro sentido a este límite.
No asimilan ( o no nos esforzamos los profesores porque lo asimilen) las ideas básicas que subyacen en estos cálculos. Algo parecido ocurre con otros conceptos o métodos matemáticos: el cálculo de las raíces cuadradas, de derivadas, de integrales ( los alumnos calculan con destreza hasta llegar a sus resultados, pero en general desconocen el significado y las aplicaciones de éstos, que es lo más importante ).
La mayoría de nuestros alumnos de Bachillerato
no sabrían responder con cierto criterio a las siguientes preguntas:
¿ qué problemas prácticos resuelve el método de
los límites? ¿ qué significa la expresión 
?
¿cómo explicar con palabras sencillas el significado de que 
?
¿ Por qué 
?
Incluso me atrevo a indicar que muchos estudiantes universitarios de Ciencias tampoco sabrían responder a estas preguntas con cierta profundidad. Muchos estudiantes de Ingeniería calculan límites muy complicados, pero estoy convencido de que pocos de ellos tienen una idea clara de su contenido y alcance.
Es cierto que los conceptos matemáticos son más difíciles de asimilar que los métodos memorísticos de cálculo y van madurando en un proceso lento de varios años . Pero los profesores no debemos renunciar a explicar las ideas básicas que conforman los conceptos matemáticos importantes desde el primer momento en que los manejan nuestros alumnos.
Es mucho más fácil explicar el cálculo de un límite que el de razonar sobre su significado, pero no nos debemos limitar al simple cálculo y tenemos que esforzarnos para que nuestros alumnos desde el principio asimilen las ideas principales de este concepto, aunque en los primeros momentos les resulte difícil. Sin este esfuerzo, realizado a lo largo de varias etapas de maduración, nuestros alumnos no asimilarán la idea de límite, y no les habrá servido de nada su estudio durante tantos años.
Veamos con tres ejemplos sencillos el alcance y la estrategia del límite.
Para empezar, consideremos un recipiente cilíndrico de altura h y radio de la base R. Queremos extraer con un motor el agua que lo llena. ¿Qué trabajo realiza este motor para vaciar el recipiente?
Sabemos que el trabajo es el producto de una
fuerza por un desplazamiento. En este caso, la fuerza es el peso del agua, y
el desplazamiento es la altura que tiene que subir el agua hasta el nivel superior
del recipiente, antes de sacarla de éste.
Pero aquí surge el problema : esta altura es diferente
para cada capa de agua. El agua que está en el fondo hay que elevarla
una altura mayor que la que se encuentra en la mitad del recipiente. El desplazamiento
de cada capa de agua es diferente, varía según la altura de dicha
capa dentro del recipiente.
Si consideramos el recipiente descompuesto en 8 capas y suponemos que la altura del agua en cada capa es igual (lo cual evidentemente no es cierto), al sumar el trabajo de elevar estas 8 capas no obtenemos el valor exacto, pero sí una aproximación a este trabajo.
Como la densidad del agua es 1000 kg/m3 , el
peso de la capa superior es 
.
Suponiendo que toda esta capa se eleva h/8, el trabajo efectuado por el motor
es 
Del mismo modo , el trabajo del motor para elevar la segunda capa es 
Así , el trabajo total del motor para
elevar las 8 capas es : 
¿Cómo podemos mejorar este cálculo para aproximarnos más al valor exacto del trabajo?
Si en vez de 8 capas, consideramos 16 de igual
altura, el error de considerar que todo el agua de una misma lámina está
a la misma altura es evidentemente menor que antes. Este trabajo es 
.
Si sucesivamente vamos considerando 32 capas, 64,..... obtenemos una sucesión de valores, en la que cada término se aproxima más al valor buscado.
Si dividimos el recipiente en n capas de igual
altura, el trabajo es 
= 
Si n aumenta , el cociente 1/n disminuye hasta
casi anularse , lo mismo que la altura h/n de cada lámina . De este modo
, el error que hemos cometido al considerar que todo el agua de cada lámina
se encontraba a la misma altura, se puede hacer tan pequeño como queramos
siempre que el espesor de cada capa sea suficientemente pequeño. El trabajo
realizado por el motor es la tendencia ( el límite ) de la expresión
anterior al aumentar n indefinidamente. Su valor exacto es 
kilográmetros,
si R y h están expresados en ms.
Reflexionemos sobre este proceso que hemos seguido. Se trata de un razonamiento teórico en el que hemos sustituido el movimiento continuo de extracción del agua por el discreto de considerar el agua compuesta por capas . Evidentemente este proceso no refleja la exactitud del proceso físico que se sigue en la realidad. Pero hemos conseguido una sucesión de aproximaciones en la que cada término se ajusta más al proceso real, de modo que en el límite esta aproximación se acerca al valor buscado tanto como se quiera.
El método del límite consiste , por tanto, fundamentalmente en que para determinar el valor de una magnitud, se sigue un proceso en el que se van calculando aproximaciones al valor buscado. En este proceso se debe asegurar que cada aproximación debe mejorar la aproximación anterior.
Del estudio de este proceso, se observa la tendencia de sus aproximaciones sucesivas y se calcula el valor al que tienden éstas. Pero para asegurarnos que éste es el valor buscado, debemos garantizar que la diferencia entre éste y las sucesivas aproximaciones se puede hacer tan pequeña como se quiera.
Por tanto, la estrategia del límite incluye tres pasos:
1) Se construye un proceso de aproximaciones
al valor buscado.
2) Se calcula el valor al que tienden estas aproximaciones.
3) Se garantiza que las aproximaciones se acercan al valor anterior tanto como
se quiera.
Veamos ahora cómo este método permite definir de un modo natural el número e. La mayoría de los libros de texto inician el estudio de este número sacándose de la chistera la sucesión que le origina, para terminar expresando que e es la base de los logaritmos naturales ( pues si no llega a ser natural...).
Hablemos ahora de los intereses que produce una cantidad de dinero colocada
en un banco. La práctica usual es que los intereses se contabilizan y
acumulan al final de cada año.
Así, si se pone 1 euro al interés anual de i por unidad ¿En qué se convierte después de t años?
Durante el primer año, el euro se convierte
en 1+i.
Durante el segundo año,
cada euro se convierte en 1+i. Como al principio de este año, había
1+i, éstos se convierten en (1+i)^2
Repitiendo este proceso , a los t años el euro inicial se ha convertido en (1+i)^t
Supongamos ahora que el interés anual es del 1 por unidad y los períodos de capitalización son los trimestres; es decir, los intereses generados en el primer trimestre se acumulan al capital para producir en adelante nuevos intereses, y así sucesivamente en cada trimestre. El interés por unidad en cada período es ahora i/4 y durante un año hay 4 períodos de acumulación. Por tanto, al cabo de un año 1 euro se habrá convertido en (1+i/4)^4.
Razonando análogamente, si el período de acumulación de intereses fuera un mes, entonces 1 euro se convierte al final de un año en (1+i/12)^12.
Si el período de acumulación fuera un día, entonces 1 euro se convierte al final de año en (1+i/360)^360.
Como cabía esperar , cuanto más
breve es el período de acumulación , más beneficio produce
el capital inicial
( antes empiezan los interesados generados a producir nuevos intereses ).
Siguiendo este razonamiento, surge de forma natural la siguiente pregunta ¿ Y si el período de acumulación es un instante ? es decir ¿ y si el interés desde el mismo instante en que es generado, empieza a su vez a generar nuevos intereses ? Estamos entonces ante lo que se llama un interés continuo. El concepto de instante y su relación con la idea de límite se analizarán con más profundidad en el capítulo de las derivadas.
La estrategia del límite nos da de nuevo la solución a este problema. Nos permite dar el salto de un proceso discreto a otro continuo. Buscamos un proceso en el que cada vez obtengamos aproximaciones mejores al valor buscado y además estas aproximaciones se acerquen al valor tanto como se quiera .
Si utilizamos n períodos iguales de acumulación durante el año, argumentando como antes , 1 euro se convierte al final del año en (1+1/n)^n.
Cuanto mayor sea n, menor será el período de acumulación, de modo que éste tenderá a 0 ( será un instante ) cuando n tienda a infinito.
Así, con un interés continuo del
100 %, 1 euro se convierte , al final de un año, en el valor lim
(1+1/n)^n . Sabemos que este límite es el número e.
Su nombre se debe al gran matemático Euler,
quien descubrió la relación existente entre los tres números
más famosos de la matemática 
.
Si es famoso el número e, no es por el interés continuo , que nunca se da en la práctica habitual en los términos anteriores ( ninguna entidad financiera ofrece un interés continuo, y menos al 100 % anual ). Pero el interés continuo simboliza muy bien el modelo que siguen todos los procesos de crecimiento y decrecimiento continuos , tan frecuentes en la naturaleza.
El crecimiento de la masa forestal de un extenso bosque, el crecimiento de una colonia de insectos o virus, la desintegración radiactiva ,....son procesos continuos, en los que la acumulación o el decrecimiento se producen instantáneamente ( no hay un período de tiempo en el que los elementos generados permanecen inactivos esperando una señal para incorporarse al proceso , sino que ,desde el mismo instante en que son generados, participan como el resto en el proceso de crecimiento) . Por eso, en las ecuaciones que rigen estos modelos aparece siempre el número e.
Analicemos ahora un último ejemplo , extraído de la física, que se resuelve de forma sencilla con la estrategia del límite.
La mayoría de las fuerzas que actúan en la naturaleza son variables, no permanecen constantes : así, al estirar un muelle , el esfuerzo de alargarlo el primer decímetro es menor que el del segundo decímetro. Cuanto más estirado está el muelle, más fuerza tenemos que emplear para mantenerlo en dicha posición.La fuerza que tiende a recuperar su posición es cada vez mayor, de modo proporcional a la longitud estirada ( F = -kx , la constante k depende de cada muelle). Cuanto más estirado está el muelle, más nos cuesta alargarlo. La constante k depende de cada muelle.
¿Cómo calcular el trabajo que se emplea para estirar un muelle ,de constante k, una longitud L ?
Sabemos que el trabajo es el producto escalar
de la fuerza que actúa sobre unn objeto por sudesplazamiento . Pero en
nuestro caso la fuerza es variable, como hemos indicado antes. ¿Qué
valor asignamos a la fuerza durante todo el proceso de alargamiento? ¿La
que actúa al principio del proceso? ¿La que actúa en un
punto intermedio?
Está claro que en todos estos casos cometemos un error significativo.
La estrategia del límite nos da la solución de nuevo a este problema....
Dividimos en 4 partes iguales el desplazamiento y suponemos que la fuerza es constante en cada una de éstas, eligiendo en cada intervalo la fuerza que actúa en su extremo derecha:
Con estas hipótesis ¿ cuál es el trabajo para estirar la longitud L ?
En el primer tramo la fuerza F= -k* L/4,y el desplazamiento es L/4. El trabajo es , por tanto, -k*L/4 *L/4 = -k*L^2/4^2.
En el segundo tramo, el trabajo es -k*(2L)/4*L/4
..............
El trabajo total es la suma de estos trabajos : -k*(L^2/4^2) *(1+2+3+4)
Como antes, si ahora dividimos el trayecto en 8 partes , la aproximación al valor buscado es mejor:
-k*(L^2/8^2)*(1+2+....+8)
Por último, dividiendo el trayecto en n partes,
-k*(L^2/n^2)*(1+2+.....+n)= -k*(L^2/2)*(1+1/n)
El trabajo total es el límite de esta expresión cuando el número n de intervalos iguales tienda a ( de esta forma, la longitud de cada intervalo es infinitamente pequeña y no hay error al considerar constante la fuerza en él).
Por tanto, el trabajo de estirar
el muelle de constante k una longitud L es
-k*(L^2)/2
El método del límite proporciona un modo de fundamentar con rigor el cálculo diferencial sin recurrir a los infinitésimos , que , aunque eficaces en la resolución de problemas, resultaban conceptos muy oscuros y difusos tal y como los concibieron inicialmente Newton y Leibniz.
Supongamos que un coche parte del reposo y alcanza una velocidad de 110 km/h. Está claro , por la continuidad de la velocidad, que al menos en un instante este coche iba a 100 Km/h, según marcaba su cronómetro. Esta velocidad no es una cuestión simplemente teórica , sino que tiene un significado real y práctico: si el coche en ese instante tuviera un accidente, sus consecuencia dependen de esta velocidad. Del mismo modo, el alcance y altura de un proyectil lanzado por un cañón depende de la velocidad instantánea de salida por el tubo de éste.
Pero analicemos detenidamente este concepto que en principio parece evidente y sencillo. ¿Qué significa que en un instante la velocidad es de 100 Km/h? Suponemos que el coche no se ha mantenido con esa velocidad durante una hora en la que habría recorrido 100 kms. Está claro que para el cálculo de la velocidad no necesitamos que el coche esté en marcha durante una hora. Si la velocidad es constante, es suficiente con medir la distancia recorrida durante un tiempo determinado y calcular el cociente de esta distancia entre el tiempo empleado.
Si la velocidad no se ha mantenido constante en ningún período de tiempo ¿ cómo calcular ésta en un instante dado, que es distinta a la de un instante anterior y posterior? Si el tiempo de un instante es 0, también lo es la distancia recorrida en ese tiempo.¿Cómo calcular entonces la velocidad instantánea como un cociente 0/0?
Newton y Leibniz suponen la existencia de cantidades muy pequeñas, próximas a 0, a las que denominan infinitésimos, que aparecen y se desvanecen en el cálculo de su cociente, que sí es distinto de 0. Se trata evidentemente de un proceso nada riguroso: se sacan de la manga cantidades que apenas se diferencian de 0 y después desaparecen cuando han cumplido su misión como numerador o denominador. Sin embargo, los resultados obtenidos por estos dos grandes matemáticos no eran nada triviales y solucionaban problemas que durante siglos habían permanecido sin ser resueltos ( cálculo de velocidades, de máximos y mínimos, de cálculo de tangentes a curvas,...).
La estrategia del límite resuelve esta dificultad sin recurrir a los difusos infinitésimos. La noción de límite se aplica a distancias y tiempos pequeños, pero no infinitesimales.
Si conocemos el espacio recorrido en cada período
de tiempo, calculamos las velocidades del coche en los intervalos previos al
instante t:
(t -1,t ), (t -1/2,t ), ......(t -1/n,t)).....
Estas velocidades forman una sucesión cuyo límite , cuando n se hace tan grande como se quiera, coincide con la velocidad v en el instante .
Si analizamos este ejemplo, observamos que el método del límite no sólo permite calcular algunos valores exactamente, sino que es además una herramienta adecuada para definir conceptos y magnitudes físicas. ¿Cómo, si no, podemos definir la velocidad instantánea?
Como veremos en los capítulos de la derivada e integral, la mayoría de los conceptos de la física se definen mediante la estrategia del límite.
Historia del método del límite
¿cuándo surge por primera vez el método del límite? ¿ qué problemas trataba de resolver?
Como la mayoría de los conceptos y métodos matemáticos ( así como las principales cuestiones filosóficas y de interés vital que se ha planteado la humanidad), nos debemos remontar a los griegos de la antigüedad.
En el siglo V a.c. se atribuye al sofista Antifonte el primer intento por calcular la cuadratura del círculo. Éste inscribe un cuadrado en el círculo.
En cada segmento circular formado, inscribe un triángulo isósceles, y va repitiendo este proceso sucesivamente de modo que “en algún momento se agotaría el círculo, inscribiendo de ese modo un polígono cuyos lados, por su pequeñez, coincidirán con la circunferencia. Y dado que podemos cuadrar cualquier polígono, estaríamos en disposición de construir un cuadrado igual al círculo”.
Este primer intento de cuadratura adolece de falta de rigor, pero Antifonte ya considera una sucesión de polígonos inscritos que tienden a agotar el círculo. Sin embargo, no ofrece ningún criterio riguroso para razonar por qué se va a agotar el círculo en este proceso.
Un siglo más tarde Eudoxo retoma esta cuestión y , en su línea habitual de trabajo serio y profundo, aporta el rigor suficiente para responder a este interrogante y fundamentar un método que posteriormente en el siglo XVII será denominado de exhausción. Eudoxo se basa en el siguiente lema:
“Si se ponen dos magnitudes desiguales y de la mayor se quita una magnitud mayor que su mitad, y de la restante se quita una magnitud mayor que su mitad y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada”
Eudoxo tiene por primera vez la genialidad de evaluar con un criterio claro y nítido cuándo una magnitud tiende a anularse : cuando en el proceso llega a valer menos que cualquier otra magnitud dada.
Si partimos de una magnitud M , y la sometemos a un proceso como el anterior de eliminar sucesivamente una parte mayor que su mitad , ¿ llegará a valer menos que una cantidad cualquiera C?
Después del primer paso, M se habrá
convertido en M-rM = M*(1-r), (1/2)<r<1
Después del segundo paso, se habrá convertido en M*(1-r) –
M*(1-r)*r = M*(1-r)^2
...............
Después del paso n-ésimo , se habrá convertido en M* (1-r)^n
¿ Para algún valor de n, conseguiremos que M*(1-r)^n < C ?
Tomando logaritmos neperianos en esta expresión
y despejando n, obtenemos que n > (lnC-lnN)/ln(1-r).
Luego basta con aplicar un número de pasos n, superior a este cociente
, para asegurarnos que M se ha convertido en un valor inferior a C.
En este razonamiento realizado con terminología actual se observa que no es necesario que eliminemos en cada paso más de la mitad de la magnitud, como indica Eudoxo. No es necesario que r>(1/2). Basta simplemente que 0<R<1 ( Es decir, basta con eliminar cualquier parte del total, aunque sea pequeña, siempre que se elimine esta misma parte en cada paso ).
Con este criterio de Eudoxo sí se puede garantizar que los polígonos mencionados de Antifonte agotan todo el círculo, pues , como se ve fácilmente en la figura, el área del triángulo quitado en cada segmento circular es mayor que la mitad del área de éste.
En efecto, consideremos un rectángulo, trazando la tangente por el punto medio del segmento. El área del triángulo es la mitad del rectángulo; pero este rectángulo tiene mayor área que el segmento. Luego, el área del triángulo es mayor que la mitad del segmento circular.
Aunque la exigencia de Eudoxo de eliminar en cada
paso más de la mitad no sea necesaria, su razonamiento es impecable y
genial. Descubre un criterio para demostrar cuándo una sucesión
de polígonos tendrá como límite una figura ( “agotará
esa figura”).
Arquímedes utiliza este método establecido por Eudoxo para cuadrar un segmento de parábola. Aporta otra novedad: además de inscribir polígonos , circunscribe otra sucesión de polígonos; de este modo, consigue que la diferencia entre los polígonos circunscritos e inscritos sea menor que cualquier número dado. El método de “exhausción” se ha transformado en el método de “ compresión” ; la figura queda comprimida entre ambas sucesiones de polígonos.
Aunque los griegos nunca utilizaron la palabra límite, hemos visto cómo Eudoxo y Arquímedes conocieron y usaron las ideas principales que configuran este método. Sin embargo no disponían de un simbolismo adecuado algebraico que facilitara su definición y, por otra parte, su planteamiento se limitaba sólo a figuras geométricas.
Hubo de esperar muchos siglos para que estas ideas fecundas de los griegos fructificaran. En el siglo XVI I, con motivo del estudio del movimiento iniciado antes por Galileo, algunos matemáticos insignes como Fermat, Descartes, Newton y Leibniz empezaron a vislumbrar las posibilidades del método de los límites.
Posteriormente en el siglo XVIII Euler consiguió relacionar todas las ideas y métodos de sus predecesores y englobarlos en una teoría más general que desde entonces se llama análisis infinitesimal, análisis de los procesos infinitos. Por último Cauchy definió por fin el concepto de límite tal y como actualmente se estudia en cualquier centro de enseñanza.
Notas metodológicas sobre los límites
Idea de límite Comparación de infinitos Infinitésimos equivalentes Límite de exponenciales
Es conveniente introducir la idea del límite con la representación de gráficas definidas a intervalos. En cada intervalo se define una función polinómica de hasta el 2º grado.
En cada intervalo necesito dibujar 2 puntos si la gráfica es una recta ( o 3 , si es de 2º grado) . Conviene escoger los puntos de los extremos de cada tramo ( aunque no esté definida la función en ellos).
Conviene insistir en que no se trata de varias funciones, sino de una sola función definida con varias expresiones según el intervalo considerado. Una vez dibujada la función, calculo gráficamente límites de la función en distintos puntos.
Variando la abscisa x con el control inferior,
observamos la altura f(x) en color rojo y su valor numérico. Si nos acercamos
por la izquierad a -1 , calculamos el valor-límite de f(x). Análogamente
podemos acercarnos a -1 por la derecha. De este modo, calculamos gráfica
y numéricamente los límites por la izquierda y por la derecha.
Como en el ejemplo anterior, ambos límites coinciden, hablamos simplemente
de límite cuando x tiende a -1. Estos límites no coinciden cuando
x tiende a 1.
Los alumnos realizarán
este mismo proceso dibujando f(x) con sus lápices y observando la tendencia
de estas alturas por la izquierda y por la derecha en diversos puntos. La sucesión
de las alturas dibujadas indica la tendencia de éstas al acercarnos al-1:
en nuestro caso la tendencia se dirige a la altura 2.
Es importante hacer notar que estamos ante dos sucesiones : una de abscisas y otra de ordenadas ( alturas ) . La segunda nos permite calcular el valor del límite de la función, que es el valor buscado.
Los alumnos se dan cuenta pronto que independientemente del valor de la función en el extremo, lo importante es la tendencia de las alturas en sus proximidades.
El estudio detallado de estos ejemplos representa también una buena introducción al concepto de función continua.
Posteriormente se calculan estos límites de forma numérica y constatamos que coinciden con los valores anteriores; como las funciones polinómicas son continuas, los límites se calculan sustituyendo en su expresión la x por el valor considerado. Tan sólo hay que tener en cuenta qué expresión polinómica actúa a uno u otro lado del punto considerado.
Antes de entrar en los límites infinitos,
conviene precisar en primer lugar el significado del símbolo 
.
No se trata de un número definido como el 5 o el 7. Es una manera de
indicar que una variable x o una función f(x) alcanza valores tan grandes
como se quiera. Así, significa que esta variable no está limitada
por ninguna cota, sino que puede tomar cualquier valor por grande que éste
sea. El mismo argumento es válido si consideramos valores negativos .
Los límites 
o 
se calculan fácilmente
mediante las gráficas observando la tendencia de las alturas cuando x
se desplaza indefinidamente hacia la derecha o la izquierda en el eje OX.
Los alumnos se sorprenden ante el aparentemente
ingenuo 
.
Un análisis somero de este límite nos indica que no existe, pues la función oscila de forma continua entre –1 y +1, sin tender a un valor determinado. Este ejemplo viene muy bien para asimilar la idea de que el límite , si existe, es un único valor.
Sin embargo, de nuevo les sorprendemos
cuando , a continuación, estudiamos 
.
En este caso, el límite sí existe
y vale 0, pues , aunque sen(x) oscila constantemente, sus valores están
acotados entre –1 y +1; como la función 1/x tiende a 0, deducimos
fácilmente que el producto de un factor acotado por otro que tiende a
0, tiende también a 0.
Para comprobar si los alumnos han captado estas ideas, les propongo en estos momentos que dibujen gráficas de funciones f(x) que cumplan alguna ( o varias ) de estas condiciones:
En muchos cálculos de límites nos
encontramos con cocientes en los que tanto el numerador como el denominador
tienden a infinito. ¿Cómo resolver estos casos?
Es necesario analizar cuál
de los dos infinitos es superior. Pero ¿qué
significa que un infinito sea superior a otro? ¿No son iguales todos
los infinitos? ¿No toma cualquier infinito valores tan grandes como se
quiera? Entonces,
¿ cómo se pueden comparar entre sí?
La diferencia entre dos infinitos radica en la velocidad ( o ritmo ) de crecimiento de estas funciones: veamos esta idea con diversas funciones elementales que tienden a infinito cuando x tiende a infinito: las gráficas de estas funciones nos indican la velocidad con que tienden a infinito:
La función ln(x) , representada por la gráfica inferior, tiende a infinito pero de modo lento ; la parábola que representa a la función x^2 tiende a infinito más rápidamente que la recta representativa de la función x. Por último, la función exp(x) es la más rápida de todas.
Esto se confirma cuando calculamos los valores de estas funciones en un mismo punto.
Así, en x=10 estas funciones alcanzan
estos valores tan diferentes: ln(10)=2,3 ; 10^2=100 ; exp(10)=22026
Sus cocientes son aún más significativos: ln(10)/10^2 = 0,02 ;
10^2/exp(10) = 0,0000...
Al aumentar x, estas diferencias se hacen cada vez más grandes y sus cocientes más pequeños.
De este modo, podemos decir que el infinito f(x)
es superior al infinito g(x) en x = a si 
.
Analizando las funciones elementales, las exponenciales son los infinitos de orden superior; después, las polinómicas y, por último, las logarítmicas.
Para calcular el 
,
observamos que el infinito numerador gana al del denominador; luego su valor
es infinito.
Para el cálculo de 
,
el infinito denominador gana, luego el límite es 0.
Dentro de la misma familia de funciones, entre las exponenciales el orden es mayor cuanto mayor sea la base; entre las polinómicas, cuanto mayor sea la potencia y , entre las logarítmicas, cuanto menor sea la base.
Un infinitésimo no es más que una función que tiende a 0 en algún punto. A veces nos encontramos con infinitésimos que tienden a 0 en un punto con un ritmo parecido, de modo que en las proximidades de ese punto los infinitésimos son casi iguales , actúan de forma análoga y sus gráficas son muy parecidas.
Los infinitésimos más conocidos son los que tienden a 0 en el origen. En el siguiente dibujo están dibujados los siguientes infinitésimos en el origen : ln(1+x), x, sen(x), tg(x)
Estas cuatro funciones se representan según curvas muy diferentes, pero en las proximidades del origen sus gráficas coinciden: en esta zona se comportan de forma análoga.
Se comprueba que el cociente de dos cualesquiera de estas funciones tiende a 1, cuando x tiende a 0. En este caso, decimos que son infinitésimos equivalentes en el origen.
Me detengo un momento pues no me resisto a dejar
de demostrar que 
, pues
su demostración tiene algunos aspectos interesantes:
En las proximidades del origen, sen(x) < x < tg(x), siendo x el ángulo expresado en radianes ( en el dibujo, la longitud del arco).
Dividiendo entre sen(x) : 1< x/sen(x) < 1/cos(x). Por tanto, cos(x)<sen(x)/x<1
Si x tiende a 0, cos(x) tiende a 1, luego el cociente sen(x)/x está comprendido entre 1 y una función que tiende a 1. Luego, su límite es 1.
No es de extrañar que a este método de encajar una función entre otras dos con el mismo límite, algunos autores lo denominen método del sándwich.
La importancia de los infinitésimos equivalentes radica en que en algunos límites se pueden facilitar los cálculos si se sustituye uno por otro. Combinando este método con la conocida regla de l´Hôpital, se calculan muchos límites de forma sencilla:
Hemos utilizado en el cálculo anterior
que 1-cos(x) es equivalente en el origen a (x^2)/2.
Para sustituir un infinitésimo por otro equivalente, es necesario que
sean factores en la expresión; en el primer paso del cálculo anterior
hemos sustituido sen(x) por x en el denominador, pero no en el numerador donde
sen(x) no es un factor.
Límites de funciones exponenciales
Es fácil razonar por qué
2^(+infinito)
tiende a +infinito, entendiendo el primer miembro por una expresión
cuya base tiende a 2 ( o es constantemente 2 ) y el exponente tiende a infinito.
Si recordamos que una potencia es el producto de la base por sí misma
tantas veces como indica el exponente, está claro que al multiplicarse
2 por sí mismo tantas veces como se quiera puede alcanzar cualquier valor
por grande que sea.
El mismo razonamiento nos lleva a que (1/2)^ (+infinito) es 0 ( un número, comprendido entre -1 y 1, al multiplicarse por sí mismo tantas veces como se quiera, se aproxima a 0 tanto como se quiera ).
En cambio (-2)^(+infinito) no tiene límite porque los valores que alcanza son alternativamente positivos y negativos, y se distancian cada vez más.
¿Qué ocurre con 1^infinito? Los alumnos no entienden por qué se trata de una indeterminación cuando , razonando como antes , al multiplicarse 1 por sí mismo siempre se obtiene el valor 1.
En este caso hay que diferenciar cuando la base es constantemente 1, en cuyo caso el límite es 1 , o cuando la base tiende a 1, pues ,dependiendo de cómo tienda a 1, se obtiene un límite diferente.
,
pero 
es indeterminado y
se calcula mediante el número e, con el método tradicional conocido.
La definición
matemática del límite
Hasta ahora hemos analizado en profundidad en qué situaciones de la vida real se emplea el método del límite, hemos seguido su desarrollo a lo largo de la historia y hemos descubierto algunas estrategias metodológicas para el cálculo del límite. Ahora abordamos una cuestión que resulta de difícil asimilación para los alumnos : la definición matemática de límite de una función.
Tan espinosa resulta esta definición que la experiencia de muchos años de clase indica que sólo los alumnos más aventajados pueden asimilar su contenido. Por eso, algunos cursos, en los que el nivel de la clase no es bueno, ni siquiera intento explicarla, pues no está en el programa de la signatura. He comprobado que muchos alumnos universitarios tampoco entienden esta definición y tratan de salir del paso aprendiéndola memorísticamente.
Se trata de la definición tal y como la formuló Cauchy en el siglo XIX. En principio, la utilización de los símbolos griegos no ayuda precisamente a su comprensión; por tanto, no utilizaré estos símbolos hasta el final de la siguiente argumentación:
La idea de límite va unida a la de aproximación. Todos los alumnos entienden pronto que la función 2x+1 se aproxima al valor 7 en las proximidades de x=3. Pero ¿no se aproxima también al valor 7,01 o al valor 7,00001?¿Por qué decimos que el límite es 7 y no cualquiera de los otros valores, si también la función se aproxima a ellos?.
“Por qué la función se aproxima más a 7 que a 7,01 o a 7,00001”, contestaría algún alumno. Pero ¿ qué significa que se aproxime más ? ¿cómo se puede medir la aproximación entre dos números, o entre una función y un número?
¿ es más próximo el 2 al 2,3 o el 8,5 al 8,3 ? Los alumnos rápidamente responden a esta pregunta e incluso descubren un criterio para determinar la mejor aproximación : cuanto menor es la diferencia entre dos números, mayor es su aproximación. Luego la diferencia es el criterio adecuado para medir la aproximación ( mejor dicho, el valor absoluto de la diferencia, para que no resulten números negativos).
Consideremos de nuevo la función f(x) = 2x+1 y la variable x tendiendo a 3. Entonces la función se va aproximando tanto a 7
x =
2,9 f(2,9) = 6,8
x = 2,99 f(2,99)= 6,98
x =2,999 f(2,99)= 6,998
............
Pero también se aproxima a 7,01,y a 7,00001: ¿por qué entonces el límite es 7, y no 7,01 o 7,00001 ?
La función
se aproxima a 7 tanto como se quiera ,
lo que no ocurre en los otros casos, como vamos a ver. Entramos en lo que algunos
llaman juego 
:
El alumno A elige un valor muy pequeño , y entonces B determina un entorno de 3 en el que la función toma en todos sus puntos un valor más cercano a 7 que el valor pequeño de A:
Si A escoge 0,1 entonces B asegura que en todos los puntos del intervalo ( 2,95 , 3,05 ) la función dista de 7 menos de 0,1 .
Si A escoge 0,001, entonces B garantiza que el intervalo ( 2,9995 , 3,0005 ) todos sus puntos alcanzan un valor que dista de 7 menos de 0,001
Y así sucesivamente, sea cual sea el valor
pequeño 
escogido por
A, entonces B es capaz de escoger una zona en las proximidades de 3, de modo
que la función en todos sus puntos dista de 7 menos de dicho valor .
Si A quiere que 
,
entonces B despeja x en esta desigualdad: 
luego B escoge el intervalo 
.
En el siguiente applet puedes observar que , manipulando el control inferior épsilon ,a cada intervalo de centro 7 corresponde un intervalo de centro 3, de modo que las imágenes de todos sus puntos distan de 7 una cantidad menor que épsilon:
Este juego no se cumple en los otros casos:
Si A escoge 0,001 , entonces el alumno B no es capaz de determinar una zona próxima a 3 en la que la función en todos sus puntos alcance valores que disten de 7,01 una cantidad menor que 0,001.
En efecto, si queremos que 
,
entonces despejamos x , obteniendo:
3<x<3,01, que ¡ no es un intervalo que contiene a 3 !
Ésta es la clave de la definición del límite. La función no se aproxima simplemente al valor del límite, sino tanto como se quiera.
Esta definición fue intuida por muchos
matemáticos , hasta que Cauchy la expresó
de esta forma definitiva.