-
[2,5 PUNTOS]. Desde el origen
de coordenadas pueden trazarse dos rectas tangentes a la circunferencia
que tiene su centro en el punto (3, 0) y cuyo radio vale 
.
¿Cuales son las ecuaciones de dichas rectas tangentes?
-
Una circunferencia tiene
por centro el punto C = (1 , 0) y su diámetro es 2. Halla la ecuación
de la recta tangente a la circunferencia en el punto de abcisa x = 3/2 y
ordenada positiva.
-
[2,5 PUNTOS]. Se tiene un
paralelogramo uno de cuyos vértices es el punto (3 , 2) y dos de cuyos lados
se encuentran contenidos, respectivamente, en las rectas r y s
de ecuaciones 
Halla las ecuaciones de las rectas sobre las que se encuentran los otros
dos lados.
- [2,5 Puntos] Halla el punto Q simétrico del
punto P = (2, 0, 1) respecto de la recta r que pasa por el punto A
= (0, 2, 3) y es paralela a la recta s de ecuaciones
- Considera las recta r y s dadas
por:
(1) Encuentra el valor de a para que las
rectas r y s son perependiculares. Para dicho valor, halla
la ecuación de un plano que contenga a s y sea paralelo a r.
(2) Determina un valor positivo del parámetro a para el que las rectas
r y s son coplanarias y halla la ecuación de la recta que
es perpendicular a ambas y pasa por el punto P = (1, -2,3).
-
Determina la ecuación del
plano que pasa por el punto P = (1 , 0 , 2), es paralelo a la recta
y es perpendicular al plano 
(1997)
-
Halla la ecuación del plano
que pasa por el punto A = (1 , 1 , 2) y es paralelo a las rectas
r y s dadas por
- Sean r y s las rectas dadas
por
Determina la ecuación de un plano que contenga a r y sea
paralelo a s.
- (1) Halla el punto C que es la proyección
ortogonal del punto B = (2 , 1 , 1) sobre el plano
.
(2) Halla un punto A que está; sobre el eje OX y tal que el
área del triángulo ABC valga 6. ¿Cuántas soluciones existen?
- (1) Determina la ecuación del plano que contiene
el punto P = (2 , 0 , 1) y a la recta de ecuaciones
(2) Calcula elángulo que forman el plano calculado en el apartado
anterior y la recta de ecuaciones 
.
- Sea el plano
y sea la recta r dada en forma paramétrica por:
.
(1) [0,5 Puntos] ¿Cómo se define la relación de paralelismo entre una recta
y un plano?
(2) [0,75 Puntos]. En el caso concreto de la recta r y el plano 
, ¿cómo averiguarías si son paralelos? Comprueba si lo son.
(3) [0,5 Puntos]. ¿Cómo se define la relación de perpendicularidad entre una
recta y un plano? (4) [0,75 Puntos]. En el caso concreto de la recta r
y el plano 
¿cómo averiguarías si son perpendiculares? Comprueba si lo son.
- (1) Para los diferentes valores del parámetro
real a estudia la posición relativa de los planos dados por
(2) Si a = -1, ¿en qué punto se cortan?
Subir al principio de la página
-
Calcula de manera razonada,
un plano que sea paralelo al plano de ecuación x + y + z = 1 y determine
con los ejes coordenados un triángulo cuya área sea 
.
- Sean
y 
los
planos de ecuaciones: 
y 
Explica algún procedimiento para saber si un punto de 
se encuentra entre 
y 
y
aplícalo para saber si el punto P = (2, 2, 1) se encuentra o no entre dichos
planos
- Considera el punto P = (-1, 2, 1).
(1) [1 Punto]. Determina un punto Q del plano 
de forma que el vector PQ sea perpendicular al plano 
.
(2) [1 Punto]. Determina un punto M de la recta 
de forma que el vector MP sea paralelo al plano 
.
(3) [0,5 Puntos]. Calcula el área del triángulo MPQ.
- (1) Halla el punto simétrico de P = (1, 2,
3) respecto del plano z = 4.
(2) Halla el punto simétrico de P = (1, 2, 3) repecto de la recta
r dada por 
(3) Halla el punto simétrico de P = (1, 2, 3) respecto del punto Q = (1,
2, 4).
- Calcula razonadamente y dibuja el lugar geométrico
de los puntos P del plano que verifican la siguiente propiedad: "El
triángulo APB de vértices A = (- 7 , 0),P y B
= (7 ,0) es rectángulo en P"
- Considera los puntos P = (1 , 1 , 1)
y Q = (-1 , -1 , 2).
(1) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos que se encuentran
a igual distancia del punto P que del Q .
(2) Halla la ecuación del plano que corta perpendicularmente y en su punto
medio al segmento que une los puntos P y Q.
- Considera el tetraedro formado por el origen
de coordenadas y los tres puntos en los que el plano
corta a los ejes coordenados.
(1) Describe un procedimiento para hallar el volumen de tetraedro y calcula
efectivamente su valor.
(2) Calcula razonadamente las coordenadas del punto simétrico al origen de
coordenadas respecto al plano 
.
- Cuatro puntos A, B , C y D tienen las siguientes
coordenada:
A = (1, 2, 3), B = (0, 1, -2) C = (3, 1, 0) y D = (mm, -1, 4).
(1) ¿Existe algún valor de m para el que los cuatro puntos están sobre una
misma línea recta? En caso afirmativo, determina dicha recta; en caso negativo,
di porque no están alineados.
(2) ¿Existe algún valor de m para el que los cuatro puntos están sobre un
plano? En caso afirmativo, determina dicho plano; en caso negativo, di por
qué no son coplanarios.
(3) Para m = 2, ¿determinan estos cuatro puntos un tetraedro? En caso afirmativo,
calcula el volumen de dicho tetraedro, en caso negativo, di por qué no lo
determinan.
- Considera el tetraedro de vértices A = (1,
0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) y D = (0, 0, 0).
(1) Halla la recta r que pasa por D y es perpendicular al plano determinado
por los puntos A, B y C.
(2) Halla la mínima distancia entre la recta r y la recta que pasa
por los puntos A y B.
(3) Calcula el volumen del teraedro.
- [2'5 puntos]. Prueba que todos los planos
de la familia
(con 
)
contienen una misma recta y halla unas ecuaciones paramétricas de dicha
recta.
- (1) [1'75 puntos]. Halla la ecuación de la
circunferencia cuyo centro es el punto C=(3,2) y una de cuyas rectas
tangentes tiene de ecuación
.
(2) [0'75 puntos]. Determina si el punto X=(3,3) es interior, es exterior
o está en la circunferencia.
- [2'5 puntos]. Halla el punto del plano de
ecuación
que está más cerca del punto P=(3,1,4) así como la distancia entre
el punto P y el plano dado.
- (1) [2 puntos]. Calcula un punto R
de la recta s dada por
que equidiste de los puntos P=(1,0,-1) y
Q=(2,1,1).
(2) [0'5 puntos]. Calcula el área del triángulo determinado por los puntos
P, Q y R.
- [2'5 PUNTOS].
Las gráficas (i), (ii) y (iii) corresponden, no
necesariamente por ese orden, a las de una función derivable f ,
su función derivada f ' y una primitiva F de f . identifica
cada gráfica con su función justificando la respuesta. 
- La capacidad de concentración de una saltadora
de altura en una reunión atlética de tres horas de duración viene dada por
la función
definida por 
donde t mide el tiempo en horas.
(1) [1 PUNTO]. Calcula los intervalos en los cuales la capacidad de concentración
aumenta y los intervalos en los que disminuye. ¿Cuándo es nula?
(2) [0'75 PUNTOS]. ¿Cuál es el mejor momento, en términos de su capacidad
de concentración, para que la saltadora pueda batir su propia marca?
(3) [0'75 PUNTOS]. Representa graficamente la función de capacidad de concentración.
-
Una partícula se mueve a
lo largo de la gráfica de la curva
.
En el punto P = (2 , -4/3)
la abandona y sigue desplazándose a lo largo de la recta tangente a la curva.
(1) [1 PUNTO]. Halla la ecuación de dicha recta tangente.
(2) [0'5 PUNTOS]. Si el desplazamiento es de izquierda a derecha, encuentra
el punto en el que la partícula encuentra al eje OX.
(3) [1 PUNTO]. Si el desplazamiento es de derecha a izquierda, encuentra
el punto en el que la partícula encuentra a la asíntota vertical más próxima
al punto P.
-
El alcalde de un pueblo quiere
cercar un recinto rectangular cerrado para celebrar las fiestas. Para ello
aprovecha una tapia existente como uno de los lados y dispone de 300 m.
de tela metálica para hacer los otros tres.
(1) ¿Podrías indicar las dimensiones del recinto acotado de esa forma cuya
área es la mayor posible?
(2) La comisión de fiestas del pueblo ha calculado que para montar las atracciones,
pista de baile etc., necesitan 8.000 m2 . Teniendo en cuenta
los cálculos realizados en el apartado anterior ¿será suficientemente grande
el recinto que quiere preparar el alcalde?
-
Dada una circunferencia de
radio r , se divide uno de sus diámetros en dos partes que se toman
como diámetros de dos circunferencias tangentes interiores a la circunferencia
dada. ¿Qué longitud debe tener cada uno de estos diámetros para que sea
máxima el área de la región comprendida entre las circunferencias interiores
y la exterior (la región rayada en la figura)? 
-
Dado un triángulo isósceles
de base 8 cm. y altura 5 cm., calcula las dimensiones del rectángulo de
área maxima que puede inscribirse dentro de dicho triángulo como se indica
en la figura. 
-
Desde la Tierra, que suponemos
situada en el origen de coordenada del plano, se observa un objeto que sigue
una trayectoria de ecuación 
(donde la distancias se miden en años-luz) ¿Cuáles son las coordenadas del
punto de la trayectoria cuya distancia a la Tierra es mínima y cuánto vale
dicha distancia?
-
(1) Si el precio de un diamante
es proporcional al cuadrado de su peso, demuestra que siempre se pierde
valor al partirlo en dos trozos.
(2) Como puedes suponer, puede partirse en dos trozos con diferentes pesos
de múltiples formas. Determina la partición que origina la máxima perdida
de valor. Razona tu respuesta.
-
Sobre un terreno con forma
de triángulo rectángulo cuyos catetos miden respectivamente, 100 y 200 metros,
se quiere construir un edificio de planta rectangular como se muestra en
la figura. Halla las dimensiones que debe tener dicha planta para que su
superficie sea máxima. 
- De una función se sabe que es polinómica de
tercer grado, que sus primeras derivadas en los puntos x = 3 y x = -1 son
nulas, que f (2) = 5, que f (1) = 2 y que
.
Haz un esbozo de la gráfica de f sin realizar ningún cálculo jjustificando
cómo lo haces a partir de los datos.
Subir al principio de la página
- Considera la función f definida para
por
la relación 
(1) Halla sus asíntotas.
(2) Determina sus extremos locales.
(3) Dibuja la gráfica de f indicando su posición respecto de las asíntotas.
- Determina el valor de la constante k
sabiendo que la curva de ecuación
posee una asíntota que pasa por el punto (1 , 3).
-
Una cierta función p
se define como el cociente de dos funciones derivables f y g,
es decir, p(x)=f(x)/g(x). En un punto a de su dominio la función
p tiene un mínimo relativo y sabemos que 
¿Puedes obtener el valor de p(a)? Razona tu respuesta.
- (1) Determina razonadamente la expresión algebraica
de una función continua
que cumple las condiciones siguientes
,
>
. (2) Razona si la función f es derivable
en el punto x = 3. (3) Esboza la gráfica de esta función f.
- Sea
la función definida por 
(1) Halla los máximos y mínimos relativos de esta función.
(2) Calcula 
- Dada la función
definida por 
halla la ecuación de la recta tangente a su gráfica en su punto de inflexión.
- Determina una función
sabiendo que es tres veces derivable, que 
para cada punto x de 
y que 
.
- Se considera la función
definida por 
Calcula, de manera razonada, su función derivada.
- La función
definida por 
es derivable en todo su dominio.
(1) ¿Cuánto vale k? ¿Cuánto vale 
?
Justifica la respuestas.
(2) Para el valor de k hallados en el apartado anterior, dibuja la
región limitada por la gráfica de la función f , el eje OX ,
el eje OY y la recta x = 2.
(3) Halla el área de la región descrita en el apartado anterior.
- Sea
la función definida por 
.
(1) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f
en su punto de inflexión.
(2) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de la función f , la
recta tangente en su punto de inflexión y el eje OY.
(3) Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior.
- [2,5 PUNTOS]. De una función integrable
se sabe que para cada x en dicho intervalo se tiene 
De los números -3 , -2 , -1'25 , y 2'75 , ¿cuáles pueden ser el valor de la
integral 
?
- (1) De todas las rectas tangentes a la gráfica
de la función
definida por 
, halla la que pasa por el origen de coordenadas.
(2) Dibuja laregión limitada por la gráfica de 
, la recta tangente hallada en el apartado anterior y el eje de ordenadas.
(3) Halla el área de laregión descrita en el apartado anterior.
- (1) Halla el punto de inflexión de la función
definida por 
.
(2) Dibuja la región limitada por la gráfica de f, el eje OX
y la recta x = b donde b es la abcisa del punto de inflexión
hallado en el apartado anterior.
(3) Calcula el área de laregión descrita en el apartado anterior.
- (1) Dibuja la región limitada por la recta
de ecuación y = 3 y las gráficas de las funciones f y g
definida en todo
por 
.
(2) Calcula el área de dicha región.
Subir al principio de la página
- (1) Describe el procedimiento de integración
por partes.
(2) Calcula 
- (1) Dibuja el recinto limitado por las curvas
de ecuaciones
.
(2) Halla el área del recinto descrito en el apartado
anterior.
- (1) Dibuja la región limitada por las curvas
de ecuaciones
(2) Calcula el área de dicha región
- (1) Define el concepto de derivada de una
función en un punto.
(2) Estudia la derivabilidad de la función 
definida por 
(3) Siendo f la función dada en el apartado anterior, calcula
- Considera la función en valor absoluto; es
decir la función
dada por 
.
(1) Estudia la derivabilidad de f.
(2) Dibuja la gráfica de f.
(3) Halla 
- Considera la función
definida por 
.
(1) Determina los intervalos en los que la función f es creciente.
(2) Dibuja la región limitada por la gráfica de f, el eje de abcisas
y las rectas de ecuaciones 
(3) Halla el área de la región descrita en el apartado anterior.
- Una locomotora sale de una estación y viaja
durante una hora a lo largo de una trayectoria rectilínea. La velocidad de
la locomotora al cabo de t horas viene dada, en km/h., por la fórmula
.
(1) Calcula el espacio total que recorre la locomotora.
(2) Determina la velocidad máxima que alcanza la locomotora y el instante
en que lo hace.
- Considera la función
definida por 
(1) Sea 
la función definida por 
¿Qué dice el teorema fundamental del cálculo integral sobre la función F
?
(2) Halla 
- Considera la función
definida en la forma 
(1) [1 punto]. Halla la derivada de f.
(2) [0'5 puntos]. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento
de f.
(3) [1 punto]. Calcula 
- [2'5 puntos]. De la función definida
por f(x)=ax3+bx2+cx+d
se sabe que tiene un máximo relativo en x=1, un punto de inflexión
en (0,0) y que
.
Calcula a, b, c y d.
- (1) [1 punto]. Dibuja la región limitada por
la curva de ecuación
y la recta de ecuación 
.
(2) [1'5 puntos]. Halla el área de la región descrita en el apartado anterior.
- [2'5 puntos]. Dada la función
f:[1,e]®Â definida
por
(donde Ln(x) es el logaritmo neperiano de
x), determina cuál de las rectas tangentes a la gráfica de f
tiene la máxima pendiente.
- [2'5 puntos]. Calcula el valor de la integral
- . Considera la curva de ecuación
.
(1) [1'5 puntos]. Halla una recta que sea tangente
a dicha curva y que forme un ángulo de 45º con el eje de abcisas.
(2) [1 punto] ¿Hay algún punto de la curva en el que la recta tangente sea
horizontal? En caso afirmativo, halla la ecuación de dicha tangente; en
caso negativo, explica por qué.
- (1) [1 punto]. Halla las asíntotas de la gráfica
de la función definida para
por
(2) [1 punto]. Halla las regiones de crecimiento
y de decrecimiento de f indicando sus máximos y mínimos locales y
globales si los hay.
(3) [0'5 puntos]. Esboza la gráfica de f.
- [2'5 puntos]. Encuentra la función derivable
que cumple 
y
?
Justifica la respuesta.
.
(1) Comprueba que se verifica 
, siendo I la matriz identidad de orden 3.
resuelve el sistema 
se conocen todas sus soluciones, que son 
variando en los números reales. También se sabe que 
,
siendo
¿para qué valores del parámetro b no tiene inversa A? Justifica
la respuesta.
Se sabe que 
.
Calcula de forma razonada el valor de los siguientes determinantes sin desarrollarlos:
(1997) 
,
